Teoria ed elaborazione dei segnali:Proprietà trasformata

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A2. Serie e trasformata	Teoria ed elaborazione dei segnali (Teoria dei segnali)	A4. Sistemi lineari

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Convoluzione

12 L'operatore prodotto di convoluzione è definito in questo modo:

$z \left( t \right) = x \left( t \right) * y \left( t \right) \triangleq \int_{- \infty}^{+ \infty} x \left( \tau \right) y \left( t - \tau \right) d \tau$

16 La convoluzione tra due segnali $x \left( t \right)$, a supporto finito $\left[ -a , +a \right]$ e $y \left( t \right)$, a supporto finito $\left[ -b, +b \right]$:

• ha un supporto di ampiezza pari alla somma delle ampiezze: $\left[ - \left( b + a \right) , + \left( b + a \right) \right]$;
• riduce le discontinuità, e in particolare è di classe $C^{n+1}$ se le due funzioni sono di classe $C^n$.

Convoluzione di porte

La convoluzione $z \left( t \right)$ tra la porta $x \left( \tau \right) = {\Pi}_{2a} \left( \tau \right)$ e la porta $y \left( \tau \right) = {\Pi}_{2b} \left( \tau \right)$ ha supporto $2 \left( b + a \right)$ ed è una funzione continua (classe $C^0$):

Se $a = b$ la convoluzione $z \left( t \right)$ è la funzione ${\Lambda}_1 \left( t \right)$:

Effettuando infinite convoluzioni si ottiene una gaussiana.

Al contrario, nel dominio delle frequenze il supporto è ristretto all'intervallo di frequenze in cui entrambe le trasformate $X \left( f \right)$ e $Y \left( f \right)$ non sono nulle:

17 Proprietà

• commutativa:

  $x \left( t \right) * y \left( t \right) = y \left( t \right) * x \left( t \right)$

• associativa:

  $x \left( t \right) * \left[ y \left( t \right) * w \left( t \right) \right] = \left[ x \left( t \right) * y \left( t \right) \right] * w \left( t \right)$

• distributiva:

  $x \left( t \right) * \left[ y \left( t \right) + w \left( t \right) \right] = x \left( t \right) * y \left( t \right) + x \left( t \right) * w \left( t \right)$

Proprietà della delta di Dirac

Campionamento

20 La moltiplicazione di una funzione $x \left( t \right)$ per una funzione delta $\delta \left( t - \tau \right)$, traslata di $\tau$, restituisce il campione di $x \left( t \right)$ in $t = \tau$:

$x \left( t \right) \delta \left( t - \tau \right) = x \left( \tau \right) \delta \left( t - \tau \right)$

e pertanto si può introdurre una semplificazione sostituendo $x \left( t \right)$ una qualsiasi funzione $y \left( t \right)$ che assuma lo stesso valore in $t = \tau$, in particolare la funzione costante $y \left( t \right) = x \left( \tau \right)$.

Traslazione

La convoluzione di una funzione $x \left( t \right)$ con una funzione delta $\delta \left( t - \tau \right)$, traslata di $\tau$, restituisce il segnale traslato:

$x \left( t \right) * \delta \left( t - \tau \right) = x \left( t - \tau \right)$

Dimostrazione

$x \left( t \right) * \delta \left( t - \tau \right) = \int_{- \infty}^{+ \infty} \delta \left( t' - \tau \right) x \left( t - t' \right) dt' = x \left( t - \tau \right)$

Proprietà della trasformata di Fourier

Linearità

3 La trasformata di Fourier e la sua inversa sono operatori lineari:

$\mathcal{F} \left\{ a_1 x_1 \left( t \right) + a_2 x_2 \left( t \right) \right\} = a_1 \mathcal{F} \left\{ x_1 \left( t \right) \right\} + a_2 \mathcal{F} \left\{ x_2 \left( t \right) \right\}$

Anticipo o ritardo

4 La trasformata di Fourier del segnale $x \left( t \right)$ ritardato o anticipato di una fase $\theta$ vale:

$\mathcal{F}\left\{ x \left( t - \theta \right) \right\} = \mathcal{F} \left\{ x \left( t \right) \right\} e^{-j2 \pi \theta f}$

Corrisponde graficamente a una rotazione della fase ($\arg X \left( f \right) - 2 \pi \theta f$), mentre il modulo $\left| X \left( f \right) \right|$ non varia.

Modulazione e traslazione

6 La modulazione del segnale $x \left( t \right)$, di una frequenza $f_0$, corrisponde alla traslazione della sua trasformata di Fourier:

$\mathcal{F} \left\{ x \left( t \right) e^{j2 \pi f_0 t} \right\} = X \left( f - f_0 \right)$

7 e si ottiene dalla composizione di due trasformate del segnale una simmetrica all'altra rispetto all'asse verticale:

$\mathcal{F} \left\{ x \left( t \right) \cos { \left( 2 \pi f_0 t \right) } \right\} = \frac{1}{2} \left[ X \left( f - f_0 \right) + X \left( f + f_0 \right) \right]$

$\mathcal{F} \left\{ x \left( t \right) \sin { \left( 2 \pi f_0 t \right) } \right\} = \frac{1}{2j} \left[ X \left( f - f_0 \right) - X \left( f + f_0 \right) \right]$

Scalamento

7 Lo scalamento corrisponde a una dilatazione o un restrigimento sull'asse dei tempi, e a rispettivamente un restringimento o una dilatazione sull'asse delle frequenze:

$\mathcal{F} \left\{ x \left( Kt \right) \right\} = \frac{1}{\left| K \right|} X \left( \frac{f}{K} \right)$

Relazioni di parità

10-11 Se il segnale $x \left( t \right)$ è reale, allora la sua trasformata di Fourier $X \left( f \right)$ ha le seguenti relazioni di parità:

• la parte reale $\Re{\left\{ X \left( f \right) \right\}}$ è pari:

  $\Re{\left\{X \left( -f \right) \right\}} = \Re{\left\{X \left( f \right) \right\}}$

• la parte immaginaria $\Im{\left\{ X \left( f \right) \right\}}$ è dispari:

  $\Im{\left\{X \left( -f \right) \right\}} = - \Im{\left\{X \left( f \right) \right\}}$

• il modulo $\left| X \left( f \right) \right|$ è pari:

  ${\left| X \left( f \right) \right|}^2 = {\Re}^2{\left\{X \left( f \right) \right\}} + {\Im}^2{\left\{X \left( f \right) \right\}} = \, \text{pari} \, \times \, \text{pari} \, + \, \text{dispari} \, \times \, \text{dispari} \, = \, \text{pari}$

• la fase $\arg{X\left( f \right)}$ è dispari:

  $\arg{X \left( f \right)} = \mathrm{arctg} \frac{\Im{\left\{X \left( f \right) \right\}}}{\Re{\left\{X \left( f \right) \right\}}} = \mathrm{arctg} \left( \text{dispari} \right) = \, \text{dispari}$

Se il segnale $x \left( t \right)$ è reale vale inoltre la simmetria hermitiana (o simmetria coniugata):

$X^* \left( - f \right) = X \left( f \right)$

Convoluzione e prodotto

12 La trasformata di Fourier della convoluzione è pari al prodotto delle singole trasformate:

$Z \left( f \right) = \mathcal{F} \left\{ x \left( t \right) * y \left( t \right) \right\} = X \left( f \right) Y \left( f \right)$

Derivazione ed integrazione

18 Derivazione

$\mathcal{F} \left\{ {\partial \over \partial t} x \left( t \right) \right\} = j2 \pi f X \left( f \right)$

$\mathcal{F} \left\{ {{\partial}^n \over \partial t^n} x \left( t \right) \right\} = {\left( j2 \pi f \right)}^n X \left( f \right)$

Integrazione

$\mathcal{F} \left\{ \int_{- \infty}^t x \left( r \right) dr \right\} = \frac{1}{2} X \left( 0 \right) \delta \left( f \right) + \frac{X \left( f \right)}{j2 \pi f}$

19 Dimostrazione

L'integrale fino a $t$ si può estendere fino a $+\infty$ cancellando la parte a destra di $t$ con una funzione gradino:

$\int_{- \infty}^t x \left( r \right) dr = \int_{- \infty}^{+ \infty} u \left( t - r \right) x \left( r \right) d t = u \left( t \right) * x \left( t \right)$

$\mathcal{F} \left\{ \int_{- \infty}^{t} x \left( r \right) dr \right\} = \mathcal{F} \left\{ u \left( t \right) * x \left( t \right) \right\} = U \left( f \right) X \left( f \right) =$

Ricordando la trasformata fondamentale della funzione gradino $u \left(t \right)$:

$U \left( f \right) = \frac{1}{2} \delta \left( f \right) + \frac{1}{j2 \pi f}$

si trova:

$= \frac{1}{2} X \left( 0 \right) \delta \left( f \right) + \frac{X \left( f \right)}{j 2 \pi f}$

Dualità

22 $\mathcal{F} \left\{ X \left( t \right) \right\} = x \left( - f \right) \Rightarrow \mathcal{F} \left\{ x \left( t \right) \right\} = \mathcal{F}^{-1} \left\{ x \left( - f \right) \right\}$

Altre proprietà

23 Uguaglianza di Parseval

$E \left( x \right) = \int {\left| x \left( t \right) \right|}^2 dt = \int {\left| X \left( f \right) \right|}^2 df$

Invarianza prodotto scalare

$\langle x \left( t \right), y \left( t \right) \rangle = \langle X \left( f \right) , Y \left( f \right) \rangle$

Diseguaglianza di Schwarz

$\left| \langle X \left( f \right) , Y \left( f \right) \rangle \right| \leq \left\| X \left( f \right) \right\| \left\| Y \left( f \right) \right\|$

Relazione tempo-frequenza

24 Secondo la proprietà dello scalamento espandere l'asse dei tempi corrisponde a comprimere l'asse delle frequenze.

25 Per valutare quantitativamente la compattezza non si può tuttavia usare il supporto, perché si dimostra che:

• se la funzione $x \left( t \right)$ ha supporto finito, la sua trasformata $X \left( f \right)$ non ha supporto finito;
• se la funzione $X \left( f \right)$ ha supporto finito, la sua antitrasformata $x \left( t \right)$ non ha supporto finito.

26 Si definisce estensione temporale $d$:

$d^2 = \int t^2 \frac{{\left| x \left( t \right) \right|}^2}{E \left( x \right)} dt$

Si definisce estensione di frequenza $D$:

$D^2 = 4 {\pi}^2 \int f^2 \frac{{\left| X \left( f \right) \right|}^2}{E \left( x \right)} df$

È possibile dimostrare che vale:

$d \cdot D \geq \frac{1}{2}$

27 L'estensione è il valore quadratico medio di una variabile casuale con distribuzione pari a:

• tempo: $\frac{{\left| x \left( t \right) \right|}^2}{E \left( x \right)}$
• frequenza: $\frac{{\left| X \left( f \right) \right|}^2}{E \left( x \right)}$

Supponendo nullo il valor medio, il valore quadratico medio coincide con la varianza.

Linearità	$\mathcal{F} \left\{ a_1 x_1 \left( t \right) + a_2 x_2 \left( t \right) \right\} = a_1 \mathcal{F} \left\{ x_1 \left( t \right) \right\} + a_2 \mathcal{F} \left\{ x_2 \left( t \right) \right\}$
Anticipo o ritardo	$\mathcal{F}\left\{ x \left( t - \theta \right) \right\} = \mathcal{F} \left\{ x \left( t \right) \right\} e^{-j2 \pi \theta f}$
Modulazione e traslazione	$\mathcal{F} \left\{ x \left( t \right) e^{j2 \pi f_0 t} \right\} = X \left( f - f_0 \right)$
Scalamento	$\mathcal{F} \left\{ x \left( Kt \right) \right\} = \frac{1}{\left| K \right|} X \left( \frac{f}{K} \right)$
Relazioni di parità	$x \left( t \right) \in \R \Leftrightarrow \begin{cases} \Re{ \left\{ X \left( f \right) \right\} } \, \text{e} \, \left| X \left( f \right) \right| \, \text{sono pari} \\ \Im{ \left\{ X \left( f \right) \right\} } \, \text{e} \, \arg{X \left ( f \right)} \, \text{sono dispari} \end{cases}$
Convoluzione e prodotto	$\mathcal{F} \left\{ x \left( t \right) * y \left( t \right) \right\} = X \left( f \right) Y \left( f \right)$
Dualità	$\mathcal{F} \left\{ X \left( f \right) \right\} = x \left( - t \right) \Rightarrow \mathcal{F} \left\{ x \left( t \right) \right\} = \mathcal{F}^{-1} \left\{ x \left( - t \right) \right\}$

Esempi di trasformate

29 Funzione porta

$\mathcal{F} \left\{ {\Pi}_T \left( t \right) \right\} = T \mathrm{sinc} \left( f T \right)$

30 Segnale numerico

Nel trasferimento in modulazione di un segnale digitale, il segnale sagomatore di riferimento viene moltiplicato in ampiezza per +1 o −1 (invertito) a seconda se il bit da trasferire è rispettivamente 1 o 0. Generalizzando da una base binaria a una base qualunque, il segnale sagomatore $r \left( t - i T \right)$ viene moltiplicato per una opportuna costante $a_i$, e il segnale digitale $x \left( t \right)$ sia ottenuto dalla seguente combinazione lineare:

$x \left( t \right) = \sum_{i = - \infty}^{+ \infty} a_i r \left( t - i T \right) \cos{\left( 2 \pi f_0 t \right)}$

Per la proprietà del ritardo:

$\mathcal{F} \left\{ r \left( t -iT \right) \right\} = R \left( f \right) e^{- j 2 \pi f i T}$

Per la proprietà di linearità:

$\mathcal{F} \left\{ \sum_{i = - \infty}^{+ \infty} a_i r \left( t - i T \right) \right\} = \sum_{i = - \infty}^{+ \infty} a_i \mathcal{F} \left\{ r \left( t -iT \right) \right\} = R \left( f \right) \sum_{- \infty}^{+ \infty} a_i e^{- j 2 \pi f i T} = Z \left( f \right)$

Siccome $R \left( t \right)$ è a coefficiente della sommatoria, un segnale numerico $z \left( t \right)$ non può avere un'occupazione spettrale maggiore di quella del segnale sagomatore $r \left( t \right)$ → l'ampiezza dello spettro $Z \left( t \right)$ del segnale è controllabile tramite un opportuno segnale sagomatore.

Infine per la proprietà di modulazione:

$\mathcal{F} \left\{ x \left( t \right) \right\} = \frac{1}{2} \left[ Z \left( f - f_0 \right) + Z \left( f - f_0 \right) \right]$

Note

A2. Serie e trasformata	Teoria ed elaborazione dei segnali (Teoria dei segnali)	A4. Sistemi lineari