Teoria ed elaborazione dei segnali:Processi casuali

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A9. Probabilità	Teoria ed elaborazione dei segnali (Teoria dei segnali)	A11. Stazionarietà

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2-9 Il processo casuale è un'espressione matematica che descrive una classe di segnali (voce, video, dati...), tramite una o più variabili casuali che corrispondono alle caratteristiche della classe di segnali. Nel caso dei segnali vocali, teoricamente si dovrebbe registrare un certo numero statistico di parlatori e cercare di capire quali caratteristiche (come la frequenza) sono proprie di un segnale vocale, associando a ciascuna caratteristica di ciascun parlatore una probabilità.

7 Un processo casuale $X \left( t \right)$ è quasi determinato se è esprimibile in funzione di un insieme numerabile di variabili casuali.

5 Il verificarsi dell'evento $s_i$ produce la realizzazione $x \left( t ; s_i \right)$; 6 fissato un certo $t_0$, si ottiene una serie di campioni $x \left( t_0, s_i \right)$.

• processi quasi determinati: segnale numerico, sinusoide, segnale sample & hold
• processi non quasi determinati: rumore termico, segnale vocale, segnale audio

Esempi di segnali quasi determinati

4 Segnale numerico	8 Segnale sampe & hold	9 Sinusoide
$X \left( t \right) = \sum_{i = - \infty}^{+ \infty} {\alpha}_i r \left( t - i T \right)$	$X_S \left( t \right) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} X \left( n T \right) h \left( t - n T \right)$	$X \left( t \right) = A \cos{\left( 2 \pi f t + \varphi \right)}$

13 I segnali determinati sono dei casi degeneri dei processi casuali, perché un segnale determinato è la manifestazione di un'unica realizzazione avente probabilità 1 (non ci sono variabili casuali).

Descrizione probabilistica

Statistiche

14-15 Consideriamo un processo casuale $X \left( t ; s \right)$ contenente la sola variabile casuale $s$ → a ogni valore $s_j$ è associata una realizzazione $x \left( t ; s_j \right)$ (con $j = 1, \ldots , M$).

Statistica di ordine 1

Fissato un tempo $t_1$, l'insieme dei campioni $x_1 = x \left( t_1, s_j \right)$ costituisce l'insieme dei valori per la variabile casuale $X_1 = x \left( t_1 \right)$, per la quale è possibile definire la distribuzione cumulativa $F_{X_1} \left( x_1 ; t_1 \right)$ e la densità di probabilità $f_{X_1} \left( x_1 ; t_1 \right)$:

$F_{X_1} \left( x_1 ; t_1 \right) = P \left( X_1 < x_1 \right)$

$f_{X_1} \left( x_1 ; t_1 \right) = \frac{\partial}{\partial x_1} F_{X_1} \left( x_1 ; t_1 \right)$

Statistica di ordine n

Considerando $n$ istanti di tempo $t_i$, si introduce una probabilità congiunta tra le $n$ variabili casuali $X_i$:

$F_{\mathbf{X}} \left( \mathbf{x} ; \mathbf{t} \right) = F_{X_1 , \ldots , X_n } \left( x_1 , \ldots , x_n ; t_1 , \ldots , t_n \right) = P \left( X_1 < x_1 , \ldots , X_n < x_n \right)$

$f_{\mathbf{X} } \left( \mathbf{x} ; \mathbf{t} \right) = f_{X_1 , \ldots , X_n } \left( x_1 , \ldots , x_n ; t_1 , \ldots , t_n \right) = \frac{{\partial}^n}{\partial x_1 \cdots \partial x_n} F_{\mathbf{X}} \left( \mathbf{x} ; \mathbf{t} \right)$

Un processo casuale è completamente caratterizzato/descritto se si conoscono le statistiche di qualsiasi ordine ($n \to \infty$).

Media e autocorrelazione

16 Media

$m_X \left( t \right) \triangleq E \left( X \left( t \right) \right) = \int x f_X \left( x ; t \right) dx$

Funzione di autocorrelazione

$R_X \left( t_1 , t_2 \right) \triangleq E \left( X \left( t_1 \right) X^* \left( t_2 \right) \right) = \iint x_1 x_2^* f_{X_1 , X_2} \left( x_1 , x_2 ; t_1 , t_2 \right) d x_1 d x_2$

Autocovarianza

$K_X \left( t_1 , t_2 \right) \triangleq E \left\{ \left[ X \left( t_1 \right) - m_X \left( t_1 \right) \right] \left[ X \left( t_2 \right) - m_X \left( t_2 \right) \right]^* \right\} = R_X \left( t_1 , t_2 \right) - m_X \left( t_1 \right) m_X^* \left( t_2 \right)$

Coefficiente di correlazione

$\rho_X \left( t_1 , t_2 \right) \triangleq \frac{K_X \left( t_1 , t_2 \right)}{\sqrt{K_X \left( t_1 , t_1 \right) K_X \left( t_2 , t_2 \right)}}$

6 Funzione di mutua correlazione

$R_{XY} \left( \tau \right) \triangleq E \left[ X \left( t \right) Y ^* \left( t + \tau \right) \right]$

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