Teoria ed elaborazione dei segnali:Medie temporali ed ergodicità/sub

Media temporale

Media temporale di un segnale determinato

2 Dato un segnale determinato $x \left( t \right)$ ed una qualsiasi funzione $g$, l'operatore di media temporale è definito:

$\langle g \left[ x \left( t \right) \right] \rangle \triangleq \lim_{T \to + \infty} \frac{1}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{+ \frac{T}{2}} g \left[ x \left( t \right) \right] dt$

3 Valor medio

$\overline{x} = \lim_{T \to + \infty} \frac{1}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{+ \frac{T}{2}} x \left( t \right) dt = \langle x \left( t \right) \rangle$

Potenza media

$P \left( x \right) \triangleq \lim_{T \to + \infty} \frac{1}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{+ \frac{T}{2}} {\left| x \left( t \right) \right|}^2 dt = \langle {\left| x \left( t \right) \right|}^2 \rangle$

Media temporale di più segnali determinati

7 La media temporale di una funzione $g$ di $n$ segnali $x_1, x_2, \ldots, x_n$, valutati a istanti di tempo anche differenti, è una funzione di $n-1$ variabili $\tau_1, \tau_2, \ldots, \tau_{n-1}$ (la variabile $t$ viene integrata):

$\langle g \left[ x_1 \left( t \right) , x_2 \left( t + \tau_1 \right) , \ldots , x_n \left( t + \tau_{n-1} \right) \right] \rangle \triangleq \lim_{T \to + \infty} \frac{1}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{+ \frac{T}{2}} g \left[ x_1 \left( t \right) , x_2 \left( t + \tau_1 \right) , \ldots , x_n \left( t + \tau_{n-1} \right) \right] dt$

8 Autocorrelazione

$R_x \left( \tau \right) = \lim_{T \to + \infty} \frac{1}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} x \left( t + \tau \right) x^* \left( t \right) dt = \langle x \left( t + \tau \right) x^* \left( t \right) \rangle$

Mutua correlazione

$R_{xy} \left( \tau \right) = \lim_{T \to + \infty} \frac{1}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{{T \over 2}} x \left( t + \tau \right) y^* \left( t \right) dt = \langle x \left( t + \tau \right) y^* \left( t \right) \rangle$

Media d'insieme di un processo casuale

5 La media d'insieme è la media pesata delle realizzazioni di un processo, e a differenza della media temporale restituisce un valore dipendente dal tempo:

$E \left[ g \left( X \left( t \right) \right) \right] = \sideset{}{_i}\sum{g \left[ x \left( t ; s_i \right) \right] P \left[ x \left( t ; s_i \right) \right]}$

Ergodicità

Media temporale di una realizzazione

4 Siccome una specifica realizzazione $g \left[ x \left( t ; s_0 \right) \right]$ di un processo casuale $X \left( t \right)$ è un segnale determinato, anche ad esso è possibile applicare l'operatore di media temporale:

$\langle g \left[ x \left( t ; s_0 \right) \right] \rangle \triangleq \lim_{T \to + \infty} \frac{1}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{+ \frac{T}{2}} g \left[ x \left( t ; s_0 \right) \right] dt$

6 Esempio - Potenza

La media temporale è la potenza istantanea di una certa realizzazione:

$\langle g \left[ x \left( t \right) \right] \rangle = \langle {\left| x \left( t ; s_0 \right) \right| }^2 \rangle = \lim_{T \to + \infty} \frac{1}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} {\left| x \left( t ; s_0 \right) \right|}^2 dt$

La media d'insieme è legata alla potenza media del processo:

$\left. E \left[ g \left( X \left( t \right) \right) \right] \right \vert_{t = t_i} = E \left( {\left| X \left( t_i \right) \right|}^2 \right)$

Ergodicità per la media

10 Un processo $X \left( t \right)$ è ergodico (per la media) se la media temporale di una sua qualsiasi realizzazione e la sua media d'insieme coincidono:

$E \left[ g \left( X \left( t \right) \right) \right] = \langle g \left[ x \left( t ; s_i \right) \right] \rangle \quad \forall i$

11 Se il processo è ergodico, è sufficiente una sua qualunque realizzazione per estrarne le statistiche. Il sistema che genera il processo può evolvere attraverso tutti i suoi possibili stati partendo da una qualsiasi condizione iniziale.

• 5-9 Si dice che il processo è stazionario per la sua media temporale se questa non dipende dalla realizzazione.
• Si dice che il processo è stazionario per la sua media d'insieme se questa è costante nel tempo.

L'ergodicità richiede la stazionarietà per quella media, ma non vale il viceversa: la stazionarietà per quella media non implica l'ergodicità.

14 Nel caso di $g$ funzione identità, se l'autocovarianza $K_X \left( \tau \right)$ è modulo integrabile il processo $X \left( t \right)$ è ergodico.

Esempi

• 12 se il processo $\mathcal{P}$ contiene tutte le traslazioni di un segnale $x \left( t \right)$, e tutte le traslazioni hanno la stessa probabilità, allora il processo è ergodico:

$\mathcal{P} = \left\{ x \left( t + t_1 \right) \quad \forall t_1 \right\}$

• se il processo $\mathcal{P}$ contiene tutte le traslazioni di due segnali diversi $x \left( t \right)$ e $y \left( t \right)$, e tutte le traslazioni hanno la stessa probabilità, allora il processo non è ergodico perché una qualsiasi realizzazione può essere la traslazione o di $x \left( t \right)$ o di $y \left( t \right)$:

$\mathcal{P} = \left\{ x \left( t + t_1 \right) , y \left( t + t_2 \right) \quad \forall t_1, t_2 \right\}$

• 13 segnale vocale: non è ergodico perché una persona non può fisicamente generare tutti i segnali generabili da un qualunque essere umano;
• rumore termico a una temperatura data: è ergodico perché non dipende dalla resistenza scelta.

Ergodicità per l'autocorrelazione

15 Se il processo casuale $X \left( t \right)$ è ergodico per l'autocorrelazione, allora il suo spettro di potenza $S_X \left( f \right)$ può essere valutato a partire da una sola realizzazione:

$R_X \left( \tau \right) \triangleq E \left( X \left( t \right) X^* \left( t + \tau \right) \right) = {\mathcal{F}}^{-1} \left\{ S_X \left( f \right) \right\} = \lim_{T \to + \infty} \frac{1}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} X \left( t + \tau ; s_i \right) X^* \left( t ; s_i \right) dt$