Teoria ed elaborazione dei segnali:Campionamento

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A6. Segnali periodici	Teoria ed elaborazione dei segnali (Teoria dei segnali)	A8. Spettro di energia e segnali troncati

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2 Un segnale analogico è più facile da elaborare se viene campionato in un segnale numerico, cioè tempo discreto e discreto in ampiezza. Come campionare un segnale tempo-continuo senza perdere informazione?

Teorema di campionamento (o di Nyquist-Shannon)

Un segnale tempo-continuo può essere campionato e perfettamente ricostruito a partire dai suoi campioni se la frequenza di campionamento $f_c$ è maggiore del doppio della banda $B$ del segnale:

$f_c \triangleq \frac{1}{T_c} > 2B$

5 con la condizione che la banda $B$ sia limitata.

3 Il teorema del campionamento garantisce che il segnale campionato può essere ricostruito perfettamente tramite un filtro interpolatore (ricostruttore), e che il segnale ricostruito coinciderà con il segnale tempo-continuo di partenza.

Filtro anti-aliasing

8-9-10 La maggioranza dei segnali utilizzati nella realtà hanno banda illimitata: esiste un intervallo al di fuori del quale il segnale è significativamente vicino a zero, ma non è mai identicamente nullo. Il segnale campionato quindi presenterà nel dominio della frequenza delle sovrapposizioni degli spettri che alla fine non possono essere ricostruite dal filtro interpolatore. Il filtro anti-aliasing serve per eliminare le parti ad alta frequenza prima del campionamento:

$\mathrm{AA} \left( f \right) \begin{cases} = 0 & \left| f \right| > B_{\mathrm{AA}} \\ \neq 0 & \text{altrove} \end{cases}$

con $B_x < B_{\mathrm{AA}} < \tfrac{f_c}{2}$. La distorsione del filtro anti-aliasing non è ugualmente rimediabile, ma è comunque preferibile rispetto all'effetto di aliasing (o sovrapposizione).

Campionatori reali

11-12 Il campionatore ideale (treno di delta):

$x ' \left( t \right) = x \left( t \right) * \delta \left( - t \right) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} \delta \left( t - n T_c \right) x \left( t \right)$

è impossibile da realizzare nella realtà, perché la delta $\delta \left( t \right)$ è un impulso con ampiezza illimitata e supporto infinitesimo → si utilizza un impulso $h \left( t \right)$ il più possibile simile alla delta, cioè con ampiezza molto grande e supporto molto piccolo:

$x ' \left( t \right) = x \left( t \right) * h \left( - t \right) \Rightarrow x ' \left( n T_c \right) = \int_{- \infty}^{+ \infty} h \left( \tau - n T_c \right) x \left( \tau \right) d \tau$

Interpolatori

Condizioni ideali

4-5 Un segnale campionato:

$\begin{cases} x_c \left( t \right) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x \left( n T_c \right) \delta \left( t - n T_c \right) \\ X_c \left( f \right) = \frac{1}{T_c} \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} X \left( f - \frac{n}{T_c} \right) \end{cases}$

può essere ricostruito tramite un filtro passa-basso ideale, detto filtro ricostruttore ottimo $K \left( f \right)$:

$x \left( t \right) = x_c \left( t \right) * K \left( t \right) = \left[ \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x \left( n T_c \right) \delta \left( t - n T_c \right) \right] * K \left( t \right) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x \left( n T_c \right) K \left( t - n T_c \right) , \quad K \left( f \right ) = \begin{cases} T_c & \left| f \right| < B \\ \text{qualsiasi valore} & B < \left| f \right| < f_c - B \\ 0 & \left| f \right| > f_c - B \end{cases}$

Il filtro ricostruttore ottimo $K \left( f \right)$ deve essere:

• non distorcente nella banda del segnale (piatto);
• nullo al di fuori della banda del segnale per eliminare le componenti ad alta frequenza.

Esempi di interpolatori distorcenti

6 Costante a tratti

Il segnale viene approssimato a una serie di rettangoli:

$\begin{cases} K \left( t \right) = {\Pi}_{T_c} \left( t \right) \\ K \left( f \right) = T_c \mathrm{sinc} \left( f T_c \right) \end{cases}$

Lineare

Il segnale viene approssimato a una serie di trapezi:

$\begin{cases} K \left( t \right) = {\Lambda}_{T_c} \left( t \right) \\ K \left( f \right) = T_c {\mathrm{sinc}}^2 \left( f t_c \right) \end{cases}$

Esempi di interpolatori non distorcenti

7 Funzione sinc

Il filtro interpolatore ideale è il seguente:

$\begin{cases} K \left( t \right) = B T_c \mathrm{sinc} \left( t B \right) \\ K \left( f \right) = T_c \Pi_B \left( f \right) \end{cases}$

perché il segnale viene ricostruito da una sommatoria di infinite funzioni sinc, dove per ogni $n$ esiste una sinc che assume esattamente il valore del campione $n$-esimo all'istante $n T_c$ e un valore nullo in tutti gli altri istanti di campionamento:

$x \left( t \right) = B T_c \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x \left( n T_c \right) \mathrm{sinc} \left( B \left( t - n T_c \right) \right)$

Tuttavia nei punti intermedi agli istanti di campionamento il segnale $x \left( t \right)$ è dato dalla somma dei contributi di infinite funzioni sinc:

Coseno rialzato

$K \left( t \right) = N T_c \mathrm{sinc} \left( Bt \right) \cdot \frac{\cos{\alpha B \pi t}}{1 - {\alpha B t}^2}$

Condizioni:

• roll-off $\alpha$: $0 < \alpha < 1$ (se $\alpha=0$ diventa la funzione sinc)
• $\frac{B}{2} \left( 1 - \alpha \right) > B_x$
• $\frac{B}{2} \left( 1 + \alpha \right) < f_c - B_x$

Condizioni reali

12-13 Il filtro ricostruttore può integrare anche un filtro equalizzatore che rimedi agli effetti del filtro anti-aliasing e alle distorsioni provocate da un campionatore reale:

$K \left( f \right) = \begin{cases} \frac{T_c}{\mathrm{AA} \left( f \right) H \left( f \right)} & \left| f \right| < B_{\mathrm{AA}} \\ 0 & \left| f \right| > f_c - B_{\mathrm{AA}} \end{cases}$

a patto che $H \left( f \right)$, cioè la trasformata di Fourier dell'impulso campionatore $h \left( t \right)$, non cancelli definitivamente qualche frequenza compresa nella banda $B_{\mathrm{AA}}$ del filtro anti-aliasing:

$H \left( f \right) \neq 0 \quad \forall \left| f \right| < B_{\mathrm{AA}}$

Note

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